函数(shù)存在反函数的充要条件是，函数的定(dìng)义(yì)域与值域(yù)是一(yī)一映射的。

　　1、反(fǎn)函数的(de)定义域是原(yuán)函数的值域(yù)，反函数的值域是原函数的定(dìng)义域(yù)。

　　2、互(hù)为(wèi)反函数的两个(gè)函数的图(tú)像关于直线y=x对称。

　　3、原函数若(ruò)是奇函数(shù)，则其(qí)反函数为奇函(hán)数。

　　4、若函数是单调函数，则一定有反函数，且反函数的单调性与原函数的一致(zhì)。

　　5、原函数(shù)与反函(hán)数的图像若有交点，则交点一定在直线y=x上或关(guān)于直线y=x对称出(chū)现。

反函数有哪些性质

　　性(xìng)质：

　　（1）函数f(x)与它的(de)反(fǎn)函数f-1(x)图(tú)象关于直线y=x对称；

　　（2）函数存在反函数的(de)充要条件是，函数的定义域与值域是一一(yī)映射；

　　（3）一个函(hán)数与它的反函数(shù)在相应区间上单调性一致(zhì)；

　　（4）大部分(fēn)偶函数不存(cún)在(zài)反函数(shù)（当函数y=f(x)， 定义(yì)域(yù)是{0} 且 f(x)=C （其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且(qiě)有反函数(shù)，其反函数的定(dìng)义域是{C}，值域(yù)为{0} ）。

　　奇函数不一定存(cún)在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没(méi)有反函数。

　　腔神若一(yī)个奇函数存在(zài)反(fǎn)函数(shù)，则它的反函(hán)数(shù)也是(shì)奇森(sēn)圆穗函(hán)数。

　　（5）一段连续(xù)的函(hán)数(shù)的单(dān)调性在对(duì)应(yīng)区(qū)间(jiān)内具有(yǒu)一(yī)致(zhì)性；

　　（6）严增（减）的函数一定有严格(gé)增（减）的反函(hán)数(shù)；

　　（7）反函数是(shì)相互(hù)的且具有唯一性；

　　（8）定义域(yù)、值域(yù)相反对应法则互逆（三(sān)反）；

　　（9）反(fǎn)函数的(de)导(dǎo)数(shù)关系：如果x=f(y)在开区间I上(shàng)严格单调，可导，且f(y)≠0，那么(me)它的反函数y=f-1(x)在区间S={x|x=f(y),y∈I }内也(yě)可导(dǎo)，且：

　　（10）y=x的反函数(shù)是它(tā)本身。

　　扩此卜展资料：

　　反函数定义：

　　设函数y=f(x)的定(dìng)义域是D，值域是f(D)。

　　如果对于值域f(D)中的每一个y，在D中(zhōng)有且(qiě)只有一(yī)个x使得f(x)=y，则按此对(duì)应法则(zé)得到了(le)一个(gè)定义在f(D)上的函数(shù)。

　　并(bìng)把该函数(shù)称为函数y=f(x)的反函数，记(jì)为由该定义可(kě)以(yǐ)很快得出函(hán)数f的定义(yì)域(yù)D和值域f(D)恰好就是反(fǎn)函数f-1的值域和定义域，并且f-1的反(fǎn)函数就是f，也就是说，函数f和f-1互为反函数，即：

　　反函数与(yǔ)原函数的(de)复合函数等于x，即：

　　习惯上我(wǒ)们用x来表示自变量，用y来表示因变量，于是函数y=f(x)的(de)反函数通常写成

　　 。

　　例如，函数  

　　的(de)反函数(shù)是(shì)  。

　　相(xiāng)对于(yú)反函数y=f-1(x)来说，原来的函(hán)数y=f(x)称为(wèi)直接函数。

　　反函数和(hé)直接(jiē)函数的图像(xiàng)关于直线y=x对(duì)称(chēng)。

　　这是因为，如果设(a,b)是y=f(x)的图像上任意一点，即b=f(a)。

　　根据反函(hán)数的(de)定义，有a=f-1(b)，即(jí)点(diǎn)(b,a)在反函(hán)数y=f-1(x)的图像上。

　　而点(a,b)和(hé)(b,a)关于(yú)直线y=x对称，由(a,b)的任(rèn)意性可知(zhī)f和(hé)f-1关(guān)于y=x对称。

　　于是(shì)我们(men)可以知道，如果两个函数(shù)的图像关于y=x对称，那么这两个函数互为反函(hán)数。

　　这也(yě)可以看做是反函数的一个几(jǐ)何定义(yì)。

　　在微积(jī)分里，f (n)(x)是用来指(zhǐ)f的n次(cì)微(wēi)分的。

　　若一函数有反函(hán)数(shù)，此(cǐ)函数便称为可逆的(de)（invertible）。

　　参考资料：百度百(bǎi)科(kē)---反函数

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